什么是交叉熵
什么是交叉熵
交叉熵是一个在ML领域经常会被提到的名词。在这篇文章里将对这个概念进行详细的分析。
1.什么是信息量？
假设$x$是一个离散型随机变量，其取值集合为$X$，概率分布函数为$p(x)=Pr(X=x), x \in X $，我们定义事件的信息量为：$X=x_0$，可以理解为，一个事件发生的概率越大，则它所携带的信息量就越小，而当$p(x_0)=1$时，熵将等于0，也就是说该事件的发生不会导致任何信息量的增加。举个例子，小明平时不爱学习，考试经常不及格，而小王是个勤奋学习的好学生，经常得满分，所以我们可以做如下假设： 事件A：小明考试及格，对应的概率$P(x_A)=0.1$，信息量为$I(x_A)=−log(0.1)=3.3219$ 事件B：小王考试及格，对应的概率$P(x_B)=0.999$，信息量为$I(x_B)=−log(0.999)=0.0014$ 可以看出，结果非常符合直观：小明及格的可能性很低(十次考试只有一次及格)，因此如果某次考试及格了（大家都会说：XXX竟然及格了！），必然会引入较大的信息量，对应的$I$值也较高。而对于小王而言，考试及格是大概率事件，在事件B发生前，大家普遍认为事件B的发生几乎是确定的，因此当某次考试小王及格这个事件发生时并不会引入太多的信息量，相应的$I$值也非常的低。
2.什么是熵？
那么什么又是熵呢？还是通过上边的例子来说明，假设小明的考试结果是一个0-1分布$X_A$只有两个取值{0：不及格，1：及格}，在某次考试结果公布前，小明的考试结果有多大的不确定度呢？你肯定会说：十有八九不及格！因为根据先验知识，小明及格的概率仅有0.1,90%的可能都是不及格的。怎么来度量这个不确定度？求期望！不错，我们对所有可能结果带来的额外信息量求取均值（期望），其结果不就能够衡量出小明考试成绩的不确定度了吗。 即： $H_A(x) = -[p(x_A)log(p(X_A))] + (1-p(x_A))log(1-p(x_A))]=0.4690$ 对应小王的熵： $H_B(x)=−[p(x_B)log(p(x_B))+(1−p(x_B))log(1−p(x_B))]=0.0114$ 虽然小明考试结果的不确定性较低，毕竟十次有9次都不及格，但是也比不上小王（1000次考试只有一次才可能不及格，结果相当的确定） 我们再假设一个成绩相对普通的学生小东，他及格的概率是$P(x_C)=0.5$,即及格与否的概率是一样的，对应的熵： $H_C(x)=−[p(x_C)log(p(x_C))+(1−p(x_C))log(1−p(x_C))]=1$ 其熵为1，他的不确定性比前边两位同学要高很多，在成绩公布之前，很难准确猜测出他的考试结果。 可以看出，熵其实是信息量的期望值，它是一个随机变量的确定性的度量。熵越大，变量的取值越不确定，反之就越确定。
对于一个随机变量X而言，它的所有可能取值的信息量的期望$（E[I(x)]$就称为熵。 $X$的熵定义为： $H(X)=Ep \space log \frac 1 {p(x)}=−\sum \limits_{x \in X}p(x)logp(x)$ 如果$p(x)$是连续型随机变量的pdf，则熵定义为： $H(X)=−∫_{x∈X}p(x)logp(x)dx$ 为了保证有效性，这里约定当$p(x)→0$时,有$p(x)logp(x)→0$ 当X为0-1分布时，熵与概率p的关系如下图：
可以看出，当两种取值的可能性相等时，不确定度最大（此时没有任何先验知识），这个结论可以推广到多种取值的情况。在图中也可以看出，当p=0或1时，熵为0，即此时X完全确定。 熵的单位随着公式中$log$运算的底数而变化，当底数为2时，单位为“比特”(bit)，底数为e时，单位为“奈特”。
3.什么是相对熵？
相对熵(relative entropy)又称为KL散度（Kullback-Leibler divergence），KL距离，是两个随机分布间距离的度量。记为$D_{KL}(p||q)$。它度量当真实分布为p时，假设分布$q$的无效性。 $$\begin{split} \ D_{KL}(p||q) &= Ep[log \frac {p(x)} {q(x)}] \ &=\sum _{x∈X} p(x) log \frac {p(x)} {q(x)} \ &=\sum {x∈X}[p(x)logp(x)−p(x)logq(x)] \ &=\sum{x∈X}p(x)logp(x)−\sum _{x∈X}p(x)logq(x) \ &=−H(p)−\sum _{x∈X} p(x)logq(x) \ &=−H(p)+Ep[−logq(x)] \ &=Hp(q)−H(p)\end{split}$$
并且为了保证连续性，做如下约定： $$0log \frac 0 0=0，0log \frac 0 q=0，plog \frac p 0=∞$$ 显然，当$p=q$时,两者之间的相对熵$D_{KL}(p||q)=0$ 上式最后的$H_p(q)$)表示在p分布下，使用q进行编码需要的bit数，而$H(p)$表示对真实分布p所需要的最小编码bit数。基于此，相对熵的意义就很明确了：$D_{KL}(p||q)$)表示在实分布为$p$的前提下，使用q分布进行编码相对于使用真实分布p进行编码（即最优编码）所多出来的bit数。
4. 什么是交叉熵？
交叉熵容易跟相对熵搞混，二者联系紧密，但又有所区别。假设有两个分布$p，q$则它们在给定样本集上的交叉熵定义如下： $$ CEH(p,q)=Ep[−logq]=−∑\limits_{x∈X}p(x)logq(x)=H(p)+D_{KL}(p||q) $$ 可以看出，交叉熵与上一节定义的相对熵仅相差了$H(p)$,当$p$已知时，可以把$H(p)$看做一个常数，此时交叉熵与KL距离在行为上是等价的，都反映了分布$p，q$的相似程度。最小化交叉熵等于最小化KL距离。它们都将在$p=q$时取得最小值$H(p)$（p=q时KL距离为0），因此有的工程文献中将最小化KL距离的方法称为Principle of Minimum Cross-Entropy (MCE)或Minxent方法。 特别的，在logistic regression中， p:真实样本分布，服从参数为p的0-1分布，即$X∼B(1,p)$ q:待估计的模型，服从参数为q的0-1分布，即$X∼B(1,q)$ 两者的交叉熵为： $$\begin{split} CEH(p,q) &=−\sum _{x∈X}p(x)logq(x) \ &=−[P_p(x=1)logP_q(x=1)+P_p(x=0)logP_q(x=0)] \ &=−[plogq+(1−p)log(1−q)] \ &=−[ylogh_θ(x)+(1−y)log(1−h_θ(x))] \ \end{split}$$ 对所有训练样本取均值得： $$−\frac 1 m \sum \limits^{m} \limits _{i=1m} [y(i)logh_θ(x^{(i)})+(1−y^{(i)})log(1−h_θ(x^{(i)}))]$$ 这个结果与通过最大似然估计方法求出来的结果一致。
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